Изгибом называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения.
Изгиб называется чистым , если в любом поперечном сечении балки возникает только один изгибающий момент.
Изгиб, при котором в поперечном сечении балки одновременно действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным . Линия пересечения силовой плоскости и плоскости поперечного сечения называется силовой линией .
Внутренние силовые факторы при изгибе балки.
При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Правило знаков для поперечных сил Q:
Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Правило знаков для изгибающих моментов M:
Дифференциальные зависимости Журавского.
Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости:
На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М:
Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе.
1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией, параллельной базе эпюре, а эпюра М — наклонной прямой (рис. а).
2. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть скачок, равный значению этой силы, а на эпюре М —точка перелома (рис. а).
3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента, (рис. 26, б).
4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М — по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. в, г).
5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение Mmax или Mmin (рис. г).
Нормальные напряжения при изгибе.
Определяются по формуле:
Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина:
Опасным сечением при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение.
Касательные напряжения при прямом изгибе.
Определяются по формуле Журавского для касательных напряжений при прямом изгибе балки:
где S отс — статический момент поперечной площади отсеченного слоя продольных волокон относительно нейтральной линии.
Расчеты на прочность при изгибе.
1. При проверочном расчете определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением:
2. При проектном расчете подбор сечения бруса производится из условия:
3. При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия:
Далее по полученному значению [Mx] определяют допускаемые значения внешних поперечных нагрузок [Q] и внешних изгибающих моментов [Mвнеш]. Условие прочности имеет вид:
Перемещения при изгибе.
Под действием нагрузки при изгибе ось балки искривляется. При этом наблюдается растяжение волокон на выпуклой и сжатие — на вогнутой частях балки. Кроме того, происходит вертикальное перемещение центров тяжести поперечных сечений и их поворот относительно нейтральной оси. Для характеристики деформации при изгибе используют следующие понятия:
Прогиб балки Y — перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси.
Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z)
Угол поворота сечения — угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. Угол поворота считают положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки. Величина угла поворота меняется по длине балки, являясь функцией θ = θ (z).
Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора и правило Верещагина.
Метод Мора.
Порядок определения перемещений по методу Мора:
1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент.
2. Для каждого участка системы записываются выражения изгибающих моментов Мf от приложенной нагрузки и М1 — от единичной нагрузки.
3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение:
4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы.
Правило Верещагина.
Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина.
где Af – площадь эпюры изгибающего момента Мf от заданной нагрузки, yc – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры Мf , EIx – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (Af*yc) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра Мf должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое «расслоение эпюры»), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.
Изгиб бруса
Если ось стержня криволинейна, но размеры поперечного сечения малы по сравнению с радиусом кривизны, то для расчета можно пользоваться теми же формулами, что и для прямого стержня. Когда размеры сечения сравнимы с радиусом кривизны, влияние кривизны существенно сказывается на распределении напряжений. При рассмотрении задачи об изгибе стержня значительной кривизны мы ограничимся тем частным случаем, когда ось является дугой окружности, сечение симметрично относительно плоскости оси и изгибающие силы действуют в этой плоскости. В основу расчета положим две гипотезы:
1. Плоские сечения, перпендикулярные оси стержня, остаются плоскими и перпендикулярными изогнутой оси после деформации.
2. Цилиндрические поверхности, ось которых проходит через центр кривизны и перпендикулярна плоскости оси стержня, свободны от напряжений.
Первая гипотеза выполняется совершенно точно в случае чистого изгиба, то есть изгиба парой сил. Вторая гипотеза означает, что круговые волокна, на которые можно мысленно разделить стержень, не взаимодействуют между собой.
Это явно невозможно: растянутое криволинейное волокно будет в равновесии только за счет реакции соседних волокон, его можно уподобить изображенной на рис. 168 веревке, перекинутой через цилиндр. Натягивая концы веревки, мы вызываем давление ее на цилиндр.
Точное решение задачи об изгибе кривого бруса с круговой осью прямоугольного поперечного сечения дано Головиным (1880 г.).
Приближенное решение, излагаемое ниже, пригодно для всех форм поперечных сечений, а для прямоугольного сечения весьма мало отличается от решения Головина. Обращаясь к рис. 169, где изображены два бесконечно близких сечения до и после деформации, найдем, что удлинение ли волокна, находящегося на расстоянии от нейтральной оси, есть Здесь — угол поворота одного сечения относительно другого. Первоначальная длина этого волокна Поэтому относительное удлинение есть
Заметим, что , радиус нейтральной поверхности, то есть цилиндрической поверхности, являющейся геометрическим местом нейтральных осей сечений, заранее неизвестен.
Вследствие второй гипотезы волокно испытывает только продольные напряженяя, поэтому закон Гука дает:
Примем за оси х и у центральные оси сечения, направим ось z по нормали к сечению и составим уравнение проекций всех сил на ось z (рис. 170).
В случае чистого изгиба сюда войдут только внутренние силы и мы получим:
Формула (114.2) послужит в дальнейшем для нахождения положения нейтральной оси. Пока заметим, что если Q велико по сравнению с размерами сечения, то величиной г) можно пренебречь в знаменателе и мы получим:
Следовательно, в этом случае нейтральная ось пройдет через центр тяжести.
Вообще нейтральная ось смещена относительно центра тяжести. Величину этого смещения мы будем обозначать через е. Составим теперь уравнение моментов относительно нейтральной оси. Получим:
Второй интеграл равеи иулю вследствие формулы (114.2), первый же интеграл есть статический момент площади сечения относительно нейтральной оси:
Приняв это во внимание, получим из уравнения (114.3)
Подставляя найденное значение и формулу (114.1), получим:
Это и есть основная формула для нахождения нормальных напряжений при чистом изгибе кривого бруса. Если изгиб создается силами, которые растягивают или сжимают сечение, а также вызывают в нем касательные напряжения, то формула (114.4) дает важнейшую часть напряжений.
Эпюра распределения напряжений в сечении оказывается уже не прямой, как в стержне с прямолинейной осью, а гиперболой.
Для пользования формулой (114.4) нам не хватает одного: мы пока еще не знаем положения нейтральной оси.
Изгиб бруса
С задачей об упругом равновесии неоднородного цилиндра под действием силы и момента сходна задача об изгибе плоского кривого бруса моментами и силой, действующими в срединной плоскости.
Пусть имеется плоский брус постоянной толщины обладающий цилиндрической анизотропией, и неоднородный, ограниченный в плане двумя концентрическими окружностями радиусов а и и двумя радиальными отрезками, образующими произвольный угол а Мы не будем в общем случае предполагать брус ортотропным, но будем считать, что срединная плоскость совпадает с плоскостью упругой симметрии, а ось анизотропии проходит нормально к этой плоскости через общий центр окружностей. Ось анизотропии принимаем за ось z цилиндрической системы координат, а ось х, от которой отсчитываются полярные углы 0, направляем как удобнее в зависимости от нагрузки, которую считаем действующей в плоскостях, параллельных срединной и симметричных относительно нее.
Рассматриваем средние по толщине напряжения, деформации и перемещения. Коэффициенты деформации из уравнений обобщенного закона Гука полагаем произвольными функциями переменной и четными функциями координаты z и от 0 не зависящими. Уравнения обобщенного закона Гука, связывающие средние по толщине выражения для напряжений и перемещений, в случае неортотропного тела запишем так (горизонтальные черты, выражающие осредненные величины напряжений, деформаций и коэффициентов отбрасываем):
Три средние составляющие напряжений выражаются через функцию напряжений
(объемные силы считаем отсутствующими). Тогда для функции после исключения перемещений из (48.1), получаем уравнение, более общее по сравнению с (44.4), с заменой на
и соответствующие условия для средних по толщине напряжений.
Рассмотрим отдельно два простейших случая изгиба [70].
1. Чистый изгиб моментами. Дан кривой плоский брус, о котором говорилось выше. Криволинейные стороны ничем не нагружены и не закреплены, (торцевые поверхности нагружены усилиями, на каждом торце приводящимися к моментам напр авленным в противоположные стороны. Для определенности один торец можем считать закрепленным, другой — свободным.
Направим ось х по оси симметрии фигуры (рис. 78). На криволинейных сторонах составляющие напряжений равны нулю, на прямолинейных приводятся к
моментам Так же как и в случае однородного бруса с постоянными решение получается с помощью функции напряжений, зависящей только от одной переменной Полагая
Уравнение для на основании (48.3) можно записать так:
Входящие в состав общего интеграла этого уравнения второго порядка постоянные найдутся из условий на криволинейных сторонах и из интегральных условий приводимости на прямолинейных сторонах. На прямолинейных сторонах условия совпадают, так что всегда у нас будут три условия. Столько же мы имеем и произвольных постоянных —
При произвольной зависимости коэффициентов от решение уравнения (48.6) затруднительно, можно говорить лишь о решении для частных случаев задания в том числе о тех, какие рассмотрел М. М. Плотников, изучая напряженное состояние трубы с различного типа неоднородностью (§ 44). Наиболее простым является случай, когда все пропорциональны одной и той же степени расстояния
Введем обозначения § 44, заменив всюду на [см. формулы (44.8) и (44.10)]:
Тогда, раскрыв скобки, перепишем (48.6) так:
(кликните для просмотра скана)
Здесь в этом случае:
2. Изгиб силой. Пусть плоский брус закреплен одним концом, а по другому концу распределены усилия, приводящиеся к силе действующей в срединной плоскости и образующей с радиусом угол со (рис. 79). Чтобы не перегружать выражения для напряжений формулами и выкладками, рассмотрим в данном случае упрощенный случай — ортотропное тело, у которого одна из плоскостей упругой симметрии совпадает со срединной, другие идут по радиусам и третьи ортогональны к каждой паре первых двух плоскостей.
В этом случае также полагаем, что все коэффициенты пропорциональны одной и той же степени т. е. заданы формулами (48.7). Функцию напряжений нужно искать в виде
как и в случае однородного бруса.
далее — определяемые по формуле (45.23), в которой все нужно заменить соответствующими а,
Для функций получаются уравнения:
Все постоянные определяются из условий на криволинейных сторонах и на загруженном конце, причем так как им соответствуют части функции пропорциональные и следовательно, напряжения, равные нулю.
Окончательные выражения для напряжений равны:
Нормальные напряжения достигают наибольших значений в радиальных сечениях, перпендикулярных к линии действия силы (где синус равен ±1), или в заделанном сечении, касательные — на линии действия силы. Значения в радиальном сечении у внутреннего и внешнего края определяются по формулам (48.13) и (48.14), в которые вместо нужно подставить X, (I, а коэффициент — заменить соответственно на
Баня 5 на 5 из бревна
Станьте первым!